Закрыть ... [X]


  • Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

    Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

    Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

    Рис. 1
    Графики тригонометрических функций:      синуса      косинуса      тангенса      косеканса      секанса      котангенса

    Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

    К тригонометрическим функциям относятся:

    прямые тригонометрические функции
    • синус (\sin x)
    • косинус (\cos x)
    производные тригонометрические функции
    • тангенс (\mathrm{tg}\, x)
    • котангенс (\mathrm{ctg}\, x)
    другие тригонометрические функции
    • секанс (\sec x)
    • косеканс (\mathrm{cosec}\, x)

    В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются \tan x, \cot x, \csc x.

    Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

    Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках \pm \pi n + \frac{\pi}{2}, а котангенс и косеканс — в точках \pm \pi n.
    Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

    Содержание

    Способы определения[править]

    Геометрическое определение[править]

    Рис. 3
    Численные значения тригонометрических функций угла \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

    Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[1]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча OB, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок).

    • Синусом называется отношение \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
    • Косинусом называется отношение \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
    • Тангенс определяется как \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
    • Котангенс определяется как \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
    • Секанс определяется как \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
    • Косеканс определяется как \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.

    Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто тангенсом ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

    Если \alpha — вещественное число, то синусом \alpha в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна \alpha, аналогично для прочих тригонометрических функций.


    Определение тригонометрических функций для острых углов[править]

    Рис. 4
    Тригонометрические функции острого угла

    В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[2]. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

    • Синусом угла \alpha называется отношение \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
    • Косинусом угла \alpha называется отношение \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
    • Тангенсом угла \alpha называется отношение \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему).
    • Котангенсом угла \alpha называется отношение \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему).
    • Секансом угла \alpha называется отношение \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
    • Косекансом угла \alpha называется отношение \frac{OB}{AB} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

    Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

    Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

    Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2 \pi (360^\circ) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и \pi(180^\circ) для тангенса и котангенса.
    Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

    Исследование функций в математическом анализе[править]

    Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений[править]

    Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

    \frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

    с дополнительными условиями R(0) = 1 для косинуса и R'(0) = 1 для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

    \ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.

    Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений[править]

    Функции косинус и синус можно определить[3] как решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

    \left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\ g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y) \end{array} \right.

    при дополнительных условиях

     f(x)^2 + g(x)^2 = 1, g(\pi/2) = 1, и  0<g(x)<1 при  0<x<\pi/2 .

    Определение тригонометрических функций через ряды[править]

    Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

    \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

    Пользуясь этими формулами, а также равенствами \operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},\sec x=\frac{1}{\cos x} и \operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

    {\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

    где

    B_n — числа Бернулли, E_n — числа Эйлера (англ.)русск..

    Производные и интегралы[править]

    Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

    ( \sin x )' = \cos x \,,

    ( \cos x )' = -\sin x \,,

    ( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},

    ( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},

    ( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},

    ( \operatorname{cosec}x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.

    Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом[4]:

    \int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,

    \int\cos x\, dx = \sin x + C \,,

    \int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,

    \int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,

    \int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,

    \int \operatorname{cosec} x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.

    См. также: Список интегралов от тригонометрических функций

    См. также: Интегральные тригонометрические функции

    Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править]

    Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

     \alpha \,\! 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)  \sin \alpha \,\!{0} \,\! \frac{1}{2}\,\! \frac{\sqrt{2}}{2}\,\! \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!{1}\,\!{0}\,\!{-1}\,\!{0}\,\! \cos \alpha \,\!{1} \,\! \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! \frac{\sqrt{2}}{2}\,\! \frac{1}{2}\,\!{0}\,\!{-1}\,\!{0}\,\!{1}\,\! \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\!{0} \,\! \frac{1}{\sqrt{3}}\,\! {1}\,\! \sqrt{3}\,\!{\infty}\,\!{0}\,\!{\infty}\,\!{0}\,\! \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\!{\infty}\,\! \sqrt{3}\,\!{1} \,\! \frac{1}{\sqrt{3}}\,\! {0}\,\!{\infty}\,\!{0}\,\!{\infty}\,\! \sec \alpha \,\!{1} \,\! \frac{2}{\sqrt{3}}\,\! \sqrt{2}\,\! {2}\,\!{\infty}\,\!{-1}\,\!{\infty}\,\! {1}\,\! \operatorname{cosec}\, \alpha \,\!{\infty}\,\! {2}\,\! \sqrt{2}\,\! \frac{2}{\sqrt{3}}\,\!{1}\,\!{\infty}\,\!{-1}\,\!{\infty}\,\! Значения косинуса и синуса на окружности.


    Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править]

    \alpha\,\frac{2\pi}{3} = 120^\circ\frac{3\pi}{4} = 135^\circ\frac{5\pi}{6} = 150^\circ\frac{7\pi}{6} = 210^\circ\frac{5\pi}{4} = 225^\circ\frac{4\pi}{3} = 240^\circ\frac{5\pi}{3} = 300^\circ\frac{7\pi}{4} = 315^\circ\frac{11\pi}{6} = 330^\circ\sin \alpha\,\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cos \alpha\,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{tg}\,\alpha-\sqrt{3}{-1}\,\!-\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{3}}{3}{1}\,\!\sqrt{3}-\sqrt{3}{-1}\,\!-\frac{\sqrt{3}}{3}\operatorname{ctg}\,\alpha-\frac{\sqrt{3}}{3}{-1}\,\!-\sqrt{3}\sqrt{3}{1}\,\!\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}{-1}\,\!-\sqrt{3}


    \alpha\,\frac{\pi}{12} = 15^\circ\frac{\pi}{10} = 18^\circ\frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ\frac{\pi}{5} = 36^\circ\frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ\frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ\frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ\frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ\sin \alpha\,\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}\frac{\sqrt{5}-1}{4}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}\frac{\sqrt{5}+1}{4}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}\cos \alpha\,\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{5}+1}{4}\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{5}-1}{4}\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}\operatorname{tg}\,\alpha2-\sqrt{3}\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}\sqrt{2}-1\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\sqrt{2}+1\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}2 + \sqrt{3}\operatorname{ctg}\,\alpha2 + \sqrt{3}\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}\sqrt{2}+1\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}\sqrt{2}-1\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}2-\sqrt{3}

    Свойства тригонометрических функций[править]

    Простейшие тождества[править]

    Основная статья: Тригонометрические тождества

    Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

    \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,

    Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

    Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

     1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},\, 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha},\, \mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

    Непрерывность[править]

    Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва \pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots; котангенс и косеканс — 0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.

    Чётность[править]

    Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

     \sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,, \cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,, \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,, \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,, \sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,, \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

    Периодичность[править]

    Функции  y = \mathop{\mathrm{sin}}\, x,\quad y = \mathop{\mathrm{cos}}\, x,\quad y = \mathop{\mathrm{sec}}\, x,\quad y = \mathop{\mathrm{cosec}}\, x  — периодические с периодом 2\pi, функции  y = \mathop{\mathrm{tg}} \,x и  y = \mathop{\mathrm{ctg}} \,x — c периодом \pi.

    Формулы приведения[править]

    Формулами приведения называются формулы следующего вида:

     f ( n \pi + \alpha ) = \pm f (\alpha),\, f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha),\, f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right) = \pm g (\alpha),\, f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right) = \pm g (\alpha).\,

    Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

     \cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,, или что то же самое  \cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.

    Некоторые формулы приведения:

    \alpha\,\frac{\pi}{2} + \alpha\pi + \alpha\,\frac{3\,\pi}{2} + \alpha\frac{\pi}{2} - \alpha\pi - \alpha\,\frac{3\,\pi}{2} - \alpha2\,\pi - \alpha\sin\alpha\,\cos\alpha\,-\sin\alpha\,-\cos\alpha\,\cos\alpha\,\sin\alpha\,-\cos\alpha\,-\sin\alpha\,\cos\alpha\,-\sin\alpha\,-\cos\alpha\,\sin\alpha\,\sin\alpha\,-\cos\alpha\,-\sin\alpha\,\cos\alpha\,\operatorname{tg}\,\alpha-\operatorname{ctg}\,\alpha\operatorname{tg}\,\alpha-\operatorname{ctg}\,\alpha\operatorname{ctg}\,\alpha-\operatorname{tg}\,\alpha\operatorname{ctg}\,\alpha-\operatorname{tg}\,\alpha\operatorname{ctg}\,\alpha-\operatorname{tg}\,\alpha\operatorname{ctg}\,\alpha-\operatorname{tg}\,\alpha\operatorname{tg}\,\alpha-\operatorname{ctg}\,\alpha\operatorname{tg}\,\alpha-\operatorname{ctg}\,\alpha

    Формулы сложения[править]

    Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

     \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta, \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta, \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta}, \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

    Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

    \sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

    Формулы для кратных углов[править]

    Формулы двойного угла:

    \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.

    Формулы тройного угла:

    \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.

    Прочие формулы для кратных углов:

    \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha, \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha, \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1}, \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},  \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции.

    Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

    \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

    где [n] — целая часть числа n, \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.

    Формулы половинного угла:

    \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.

    Произведения[править]

    Формулы для произведений функций двух углов:

    \sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

    Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

    \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

    Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

    Степени[править]

    \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{tg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\,\alpha} \operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha} = \frac{\operatorname{sin}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{sin}^2\,\alpha},\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{ctg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2\,\alpha},\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha}, = \frac{\operatorname{cos}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{cos}^2\,\alpha},\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.

    Суммы[править]

     \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}  \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}  \cos \alpha - \cos \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}  \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}  \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}  1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2.

    Существует представление:

    A \sin \alpha + B \cos \alpha = \sqrt{A^2 + B^2}\;\sin( \alpha + \phi ),

    где угол \phi находится из соотношений:

    \sin \phi = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \quad \cos \phi = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

    Однопараметрическое представление[править]

    Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

    \sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

    \cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

    \operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

    \operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

    \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

    \operatorname{cosec}x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

    Тригонометрические функции комплексного аргумента[править]

    Определение[править]

    Формула Эйлера:

     e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta \,

    позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

    \sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} i z }{i}; \cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z; \operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})}; \operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}}; \sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}}; \operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\, где i^2=-1.\,


    Соответственно, для вещественного x,

    \cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}), \,\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}). \,

    Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

    \sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,\,\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y.\,

    Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

    • комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
    • все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

    Комплексные графики[править]

    На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

    Тригонометрические функции в комплексной плоскости Complex sin.jpg Complex cos.jpg Complex tan.jpg Complex Cot.jpg Complex Sec.jpg Complex Csc.jpg  \sin\, z\,  \cos\, z\,  \operatorname{tg}\, z\,  \operatorname{ctg}\, z\,  \sec\, z\,  \operatorname{cosec}\, z\,

    История названий[править]

    Основная статья: История тригонометрии

    Линия синуса (линия AB на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как: араб. جيب‎ — «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом лат. sinus — «синус», имеющим то же значение. Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — дополнительный синус.

    Современные краткие обозначения \sin, \cos введены Б. Кавальери и Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

    Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

    Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

    Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.

    • Бермант А. Ф. Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
    • Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204-206.
    • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
    • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
      • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
    • Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
    • Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
    • Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
    • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1984. — Т. 5. — с. 436.
    • Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика/ Ред. коллегия, Гнеденко Б.В. (гл. ред.), Савин А.П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299–301–305. — 352 с., ил. ISBN 5-7155-0218-7 (стр. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°–90°, в т.ч. в радианах)
    • Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А.Г., под ред. Степанова С.А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240–258. — 480 с.
    1. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 282—284.
    2. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 271—272.
    3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — Москва: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.
    4. ↑ В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования \scriptstyle C, вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.

    Источник: http://wp.wiki-wiki.ru/wp/index.php/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8



    Рекомендуем посмотреть ещё:



    Cинус, косинус, тангенс и котангенс. Подробная теория с примерами Тюнинг матиза своими руками

    Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом Как связан косинус с тангенсом

    ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ